В работе исследуются свойства оператора  $T_{\varphi}$  на  гильбертовом пространстве  $l^{2}(\mathbb{Z})$,  индуцированного отображением  $\varphi$   множества  $\mathbb{Z}$ в себя. Показывается, что если относительно этого  отображения  мощность прообраза каждого элемента из  $\mathbb{Z}$  конечна, но не равностепенно ограничена, то  оператор $T_{\varphi}$ допускает замыкание и представляется в  виде суммы счетного числа операторов частичной изометрии.  Рассматриваются $ C^*$-алгебры  $\textswab{A}_{\varphi}$,  $\textswab{P}_{\varphi}$ и $\textswab{U}_{\varphi}$, связанные с заданным отображением и порожденные с помощью этих  операторов. Приводятся некоторые свойства алгебр и  соотношения между ними.